Особливості відтворення функціональних навантажень в імітаційних моделях кісток середньої зони обличчя

Вступ

Протягом останнього десятиріччя відбувався стрімкий розвиток комп’ютерної техніки та програмного забезпечення. Цей процес був невід’ємним елементом загального науково-технічного прогресу. Поступове ускладнення численних високовартісних інженерних конструкцій, апаратів та машин потребувало більш точного прогнозування працездатності майбутнього виробу в умовах його використання. З цією метою створено ряд інженерних програмних комплексів (Цибенко О.С., Крищук М.Г., 2008), що забезпечують на основі проекційно-сіткових методів математичне імітаційне моделювання (Чуйко А.Н., Шинчуковский И.А., 2010).

Останнім часом імітаційне моделювання знаходить все ширше застосування в медицині. Зокрема, з’явилася низка праць (Reimann S. et al. 2007; Wu Y.Q.et al., 2008; Nagasao T. et al., 2010) щодо його застосування у стоматології та щелепно-лицевій хірургії. Але увага дослідників переважно зосереджена на вирішенні певних локальних завдань — вивчення напружено-деформованого стану альвео­лярного паростка в ділянці певного зуба, імплантата, в ділянці орбіти тощо. Водночас відсутня інформація щодо застосування математичного імітаційного моделювання середньої зони обличчя за умов нормального функціонування. Так, інформація щодо напруженого та деформованого стану середньої зони обличчя за умови стискання зубів в положенні центральної оклюзії відсутня. Для створення імітаційних моделей, які б адекватно відображали такий фізіологічний процес, необхідно вирішити такі питання: яким чином прикласти силові навантаження від жувального тиску до верхнього зубного ряду, та як розподілити його по окремих зубах так, щоб максимально спростити модель, не вдаючись до її надмірної деталізації? Результати моделювання мають адекватно відображати вид напруженого та деформованого стану кісток середньої зони обличчя (КСЗО), бути відтворюваними та в подальшому застосовуватися для створення імітаційних моделей пацієнтів і вирішення клінічних завдань.

У літературі відповідь на це запитання відсутня. Наприклад, у роботах S. Reimann та співавторів (2007) та Y.Q. Wu та співавторів (2008) розподіл силових навантажень та їх величин для зубного ряду КСЗО, що мають імітувати жувальний тиск, апріорі не визначені. Визначення силових навантажень і компонент їх векторних величин для верхнього зубного ряду КСЗО від жувального тиску можливі за даними експериментальних вимірювань головного вектора зусиль та задання функції розподілу тиску за статистичними даними.

Створення стандартної розрахункової схеми КСЗО стискання зубів у положенні центральної оклюзії не лише полегшить створення імітаційних біомеханічно обґрунтованих моделей, а й дасть можливість порівнювати напружений та деформований стан КСЗО різних пацієнтів для клінічних висновків і проводити порівняльний аналіз результатів, отриманих в інших дослідженнях.

Мета дослідження — розробити стандартизовану відтворювану схему навантаження верхнього зубного ряду, яка б адекватно відображала тиск зубів нижнього зубного ряду на зуби верхньої щелепи в положенні центральної оклюзії, та могла б застосовуватися для створення комп’ютерних імітаційних моделей КСЗО.

Об’єкт і методи дослідження

Комп’ютерні 3-D-моделі КСЗО створено на основі даних комп’ютерної томографії 9 пацієнтів (6 жінок та 3 чоловіків), віком від 16 до 54 років із нормально сформованою середньою зоною обличчя, без ознак кісткової патології, інтактними зубними рядами та ортогнатичним прикусом. Згідно з даними цефалометричного аналізу пацієнтів за Hasund, вони мали гармонічний ортогнатичний тип профілю обличчя. Відповідно до результатів вимірювання моделей за Поном та Коркгаузом верхні зубні ряди пацієнтів мали нормальні поперечні та поздовжні розміри (Нётцель Ф., Шультц К., 2006).

Комп’ютерну томографію було проведено за допомогою 16-зрізового мультиспірального томографа Toshiba Activion 16, товщина зрізу становила 1 мм. Побудову 3-D-моделей КСЗО, створення і оптимізацію об’ємної скінченно-елементної сітки та перевірку її на наявність дефектів в автоматичному режимі провели за допомогою програмного забезпечення (ПЗ) Mimics 12.3 (Materialize, Бельгія). Об’ємна скінченно-­елементна сітка створених імітаційних моделей складалася з 149–344 тис. скінченних елементів тетраедричної форми типу Solid 92 (рис. 1) та 47–391 тис. вузлів, що було достатнім для відтворення точної анатомічної будови КСЗО кожного окремого пацієнта (рис. 2) (Басов К.А., 2005). Відповідно до рентгенологічної щільності всі елементи скінченно-­елементної сітки було поділено на 9–10 підтипів. Після чого скінченно-елементні 3-D-моделі експортували в програмне середовище ANSYS 5.6 (ліцензія ДКБ «Південне»), де проводили наступну формалізацію атрибутів моделей та всі подальші розрахунки.

Рис. 1

Скінченний елемент Solid 92 із квадратичною апроксимацією функцій

Рис. 2

Імітаційна 3-D-модель КЗСО

Для спрощення моделей кісткову тканину вважали гомогенною. Фізико-механічні властивості кісткової тканини різних типів і твердих тканин зуба вважали ізотропними. Їх величини визначали за усередненими даними власних експериментальних досліджень і даних літератури (Peterson J. et al., 2006; Мандзюк Т., Вовк В., 2008; Маланчук В.О. та співавт, 2009).

Створені нами моделі КСЗО імітували стан центральної оклюзії, визначеної В.А. Хватовою як множинні фісурно-горбикові контакти зубних рядів, при яких суглобові голівки нижньої щелепи розташовані в найбільш тонкій аваскулярній частині суглобових дисків у передньоверхньому відділі суглобових ямок навпроти основи суглобових горбиків, а жувальні м’язи одночасно і рівномірно скорочені (Хватова В.А., 2005).

Жорстке закріплення моделей проводили в ділянці кісток склепіння черепа, де блокувалося переміщення вузлів у трьох взаємноперпендикулярних площинах. Загальну силу жувального тиску відповідно до даних літератури задавали рівною 800 Н (Н’ютон), відповідно до верхньої межі фізіо­логічного діапазону (Worthington P., Branemark P.I., 1992).

Для того щоб вірно розподілити силу жувального тиску по зубах верхньої щелепи, ми працювали за такою схемою (рис. 3).

Рис. 3

Орієнтація оклюзійної площини та напрямок дії сили жувального тиску в системі координат моделі КСЗО: Z — вертикальна вісь; Y — сагітальна вісь; F — перпендикуляр до оклюзійної площини (напрямок дії сили жувального тиску); α — кут між вертикальною віссю моделі (Z) та перпендикуляром, проведеним до оклюзійної площини (F)

На профільній цефалограмі, отриманій за даними комп’ютерної томографії у програмі ClearCanvas Workstation 2.0 Alpha (ClearCanvas Ink.) (тобто її система координат співпадала із системою координат 3-D-моделі, побудованої за даними тієї ж комп’ютерної томограми), ми визначали проекцію оклюзійної площини (Нётцель Ф., Шультц К., 2006) та будували плоску систему координат (вісі Z та Y). Далі ми будували перпендикуляр до оклюзійної площини (F), який співпадав із напрямом дії сили жувального тиску при змиканні зубів у положенні центральної оклюзії та дорівнював 800 Н. Після цього визначали кут між вертикальною віссю (Z) та вектором дії сили жувального тиску (F). Потім, користуючись правилом трикутників, що базується на тео­ремі Піфагора (Пастушенко С.М., Пастушенко Т.С., 2004), ми розкладали вектор F на вектори, орієнтовані по осях Z та Y. Відповідно:

F_y=F · sin α,

F_z=F · cos α.

Необхідність такої математичної операції зумовлена тим, що в імітаційному моделюванні сила прикладається до вузлів скінченно-елементної моделі у формі компонентів F_y та F_z (по осях системи координат).

Далі ми користувалися схемами жувальних коефіцієнтів за Агаповим (якщо 18-й та 28-й зуби були в дезоклюзії) або за Оксманом (якщо 18-й та 28-й зуби були в оклюзії). При створенні даних схем автори визначали роль кожного зуба залежно від величини його жувальної чи ріжучої поверхні, кількості коренів, величини їх поверхні, а також місця розташування в зубному ряду (Гаврилов Е.И., Окс­ман М.И., 1978).

Ми розраховували силу жувального тиску, яка припадала на кожен зуб симетричних половин верхнього зубного ряду у формі компонентів F_y та F_z (таблиця).

Точки прикладання сили до кожного окремого зуба визначали на основі схеми точкових оклюзійних контактів горбиків та фісур верхньої щелепи в положенні центральної оклюзії, запропонованої В.А. Хватовою (2005) (рис. 4).

Рис. 4

Точкові оклюзійні контакти горбиків та фісур зубів верхньої щелепи в положенні центральної оклюзії

Рис. 5

Скінченно-елементна модель КСЗО із прикладеними до зубів силами

При цьому сила прикладалася до кожного зуба лише в одній точці, яка була рівновіддаленою від точок оклюзійних контактів окремих зубів у зазначеній схемі (рис. 5). Таке спрощення було несуттєвим для відтворення жувального тиску, але значно полегшувало побудову скінченно-елементної моделі та подальші розрахунки. Було враховано принцип Сен-Венана: якщо зусилля, які діють на невелику частину пружного тіла, замінити іншою, статично-еквівалентною системою зусиль, яка діє на ту ж частину поверхні тіла, то зміна в напруженому стані відбудеться лише в безпосередній близькості до ділянки прикладення навантаження; а в точках пружного тіла, віддалених від місця прикладення зусиль на відстані, достатньо великої порівняно з лінійними розмірами тієї поверхні, до якої їх прикладено, вплив перерозподілу зусиль буде нікчемним (Тимошенко С.П., Гудьер Дж., 1979). Керуючись тим же принципом, ми не вдавалися до моделювання періодонтальної щілини окремих зубів, нехтували сагітальною оклюзійною кривою Шпе і трансверзальною кривою Уїлсона, розглядали зубний ряд як нерозривне ціле. Таке спрощення було обґрунтованим, оскільки ми не ставили за мету дослідити напружено-деформований стан у межах верхнього зубного ряду та альвео­лярного паростка, а вплив такого абстрагування на розподіл навантажень у КСЗО був надзвичайно малим.

За даних умов навантаження сили додатково прикладали в ділянках прикріплення жувальних м’язів до КСЗО з урахуванням просторової орієнтації та розрахункової сили жувальних м’язів при змиканні зубів у стані центральної оклюзії. Активними вважали лише м’язи-підіймачі нижньої щелепи — жувальні та медіальні крилоподібні м’язи. Тягу скроневих м’язів не імітували, оскільки їх punctum fixum знаходився поза межами змодельованої ділянки черепа. Також абстрагувалися від активності мімічних м’язів, оскільки її відтворення значно ускладнювало модель.

Згідно з орієнтацією жувальних м’язів у моделях задавали напрямки векторів їх сил. Силу кожного м’яза-підіймача нижньої щелепи рівномірно прикладали до 10 вузлів у ділянці моделі, яка відповідала punctum fixum м’яза. Це дало можливість уникнути неприродної концентрації напружень у ділянці прикріплення м’яза і наблизити модель до реального об’єкта.

Розрахунок імітаційних моделей проводили в середовищі ANSYS 5.6 та досліджували розподіл еквівалентних за Мізесом напружень у КСЗО.

Результати та їх обговорення

Після розрахунку отриманих моделей КСЗО, у процесі візуалізації розподілу еквівалентних напружень за Мізесом виявилося, що анатомічні та структурні особливості цієї ділянки зумовлюють нерівномірність розподілу напружень, максимальні значення яких відзначаються в межах кортикального шару кісток.

Екстремальні величини тензора механічних напружень концентруються в ділянках потовщення та ущільнення кортикального шару кісткової тканини, які відповідали класичним схемам розташування контрфорсів КСЗО, опублікованим у літературі (Гаврилов Е.И., Оксман М.И., 1978) (рис. 6).

Рис. 6

Порівняння класичних схем розташування контрфорсів середньої зони обличчя та результатів імітаційного моделювання КСЗО

На отриманих скінченно-елементних моделях чітко простежувалося підвищення показників напружень у зонах, що відповідають лобно-носовим, вилицевим, крилопіднебінним контрфорсам. Піднебінні контрфорси працювали меншою мірою, оскільки було змодельовано стан цент­ральної оклюзії.

Відповідно до анатомічної будови еквівалентні за Мізесом напруження досягали максимальних значень у ділянці нижньо-латерального краю appertura piriformis, перенісся та медіального краю орбіти, переднього та заднього краю лобного паростка вилицевої кістки, що входять до складу латеральної стінки орбіти, скроневого паростка вилицевої кістки та вилицевого паростка скроневої, що складають вилицеву дугу, в середньому відділі перегородки носа, на крилоподібних парост­ках клиноподібної кістки.

Дещо меншими значення напружень були в ділянці вилицево-альвеолярних гребенів і бугрів верхньої щелепи, що пояснюється наявністю в цих зонах більш товстого шару губчатої кісткової тканини з її амортизуючими властивостями. Показники напружень були меншими на верхній та нижній стінці орбіти, латеральних частинах орбітальних країв лобної кістки та нижньоорбітальних краях, у межах тіла вилицевої кістки, бічної поверхні тіла верхньої щелепи, середньої та задньої частини твердого піднебіння.

Функціональні напруження були майже відсутніми в ділянці spina nasalis anterior, нижніх носових раковин, решітчастих лабіринтів. Значення напружень у межах губчатої кісткової тканини КСЗО були незначними, що підкреслює різні функції кортикальної та губчатої кістки. Ділянки гіперконцентрації напружень виникали також у ділянках вузлів імітаційних моделей, до яких безпосередньо прикладалася сила тяги жувальних м’язів та сила жувального тиску. Але значення еквівалентних напружень безпосередньо в цих точках ми не вважали достовірними внаслідок неможливості імітації в комп’ютерних моделях тієї рівномірності, з якою ці сили розподіляються по площі в реальному об’єкті, що зумовлювало цю похибку.

Отже, незважаючи на певний ступінь спрощення наших моделей порівняно з реальними процесами функціонування зубо-щелепної системи людини, отримані нами результати опосередковано підтверджуються даними численних джерел літератури (Гаврилов Е.И., Оксман М.И., 1978; Härle F. et al. (Eds), 1999; Хватова В.А., 2005), тобто запропонована нами схема прикладання сили жувального тиску до скінченно-елементних моделей КСЗО зумовлює отримання достовірної картини розподілу функціональних напружень у КСЗО, що свідчить про її адекватність.

Оскільки розроблений алгоритм моделювання сили жувального тиску є біомеханічно обґрунтованим, відтворюваним, відносно простим і призводить до отримання результатів, що корелюють із даними джерел літератури, вважаємо доцільним його застосування при створенні імітаційних механіко-математичних скінченно-елементних 3-D-моделей КСЗО будь-якого рівня складності.

Висновки

Створено 9 комп’ютерних імітаційних 3-D-моделей КСЗО, які з високою точністю відображали інидивідуальні анатомічні та функціональні особливості реальних пацієнтів.

Розроблено обґрунтовану стандартну схему навантаження верхнього зубного ряду в скінченно-елементних моделях КСЗО, що відтворюють стан центральної оклюзії.

Екстремальні величини тензора механічних напружень в імітаційних моделях КСЗО, створених із застосуванням розроб­леної схеми розподілу жувальних навантажень, локалізуються в ділянках контрфорсів середньої зони обличчя, що свідчить про достовірність отриманих результатів.

Використання запропонованого стандартного алгоритму в подальших наукових дослідженнях є достатньо простим, обґрунтованим і доцільним.

Література

• Басов К.А. (2005) ANSYS: Справочник для пользователя. ДМК Пресс, Москва, 640 с.
• Гаврилов Е.И., Оксман И. М. (1978) Ортопедическая стоматология. Медицина, Москва, 464 с.
• Маланчук В.О., Копчак А.В., Шидловський М.С. (2009) Зміна механічних властивостей кісткової тканини уламків нижньої щелепи при травматичному переломі. Укр. стоматол. альманах, 6: 44–48.
• Мандзюк Т., Вовк В. (2008) Огляд проблем комп’ютерного моделювання біомеханічних систем у стоматології. Вісн. Львівського університету, 14: 105–122.
• Нётцель Ф., Шультц К. (2006) Практическое руководство по ортодонтической диагностике. Анализ и таблицы для использования в практике (пер. с нем.). ГалДент, Львов, 176 с.
• Пастушенко С.М., Пастушенко Т.С. (2004) Фізика. Означення, закони, приклади розв’ язування задач: Довідник для учнів середніх навчальних закладів. Абетка, Кам’янець- Подільський, 312 с.
• Тимошенко С.П., Гудьер Дж. (1979) Теория упругости. Наука, Москва, 560 с.
• Хватова В.А. (2005) Клиническая гнатология. Медицина, Москва, 296 с.
• Цибенко О.С., Крищук М.Г. (2008) CAD/CAM/CAE/PDM системи та інформаційні CALS-технології для автоматизованих інженерних розрахунків у машинобудуванні. Політехніка, Київ, 98 с.
• Чуйко А.Н., Шинчуковский И.А. (2010) Биомеханика в стоматологии. Форт, Харьков, 468 c.
• Härle F., Champy M., Terry B.C. (Eds.) (1999) Atlas of craniomaxillofacial osteosynthesis: miniplates, microplates, and screws. Thieme, Stuttgart-New York, 182 p.
• Nagasao T., Miyamoto J., Shimizu Y. et al. (2010) What happens between pure hydraulic and buckling mechanisms of blowout fractures. J. Craniomaxillofac. Surg., 38(4): 306–313.
• Peterson J., Wang Q., Dechow P.C. (2006) Material properties of the dentate maxilla. Anat. Rec. A Discov. Mol. Cell Evol. Biol., 288(9): 962–972.
• Reimann S., Keilig L., Jäger A., Bourauel C. (2007) Biomechanical finite-element investigation of the position of the centre of resistance of the upper incisors. Eur. J. Orthod., 29(3): 219–224.
• Worthington P., Brånemark P.I. (1992) Advanced osseointegration surgery: applications in the maxillofacial region. Quintessence Publishing Co., Inc., Chicago, Illinois, 403 p.
• Wu Y.Q., Zhang Z.Y., Tie Y. et al. (2008) Biomechanical evaluation of zygomatic implant in unilateral maxillary defect restoration. Shanghai Kou Qiang Yi Xue, 17(3): 250–255.

Адреса для листування:
Маланчук Владислав Олександрович
01004, Київ, бульв. Тараса Шевченка, 13
Національний медичний університет ім. О.О. Богомольця,
кафедра хірургічної стоматології